Irrlehre: Optionswert steigt mit zunehmender Zeit?
Hallo,
da ich mich gerade in die verschiedenen Formeln zur Optionspreisbewertung einarbeite fiel mir vor kurzem ein sehr interessanter Zusammenhang auf, den ich Euch nicht vorenthalten möchte :)
Normalerweise steht in allen Lehrbüchern, dass eine steigende Laufzeit für Optionen zu einem steigenden Wert dieser führt. Die Erklärung besteht darin, dass die Volatilität und damit die Unsicherheit mit der Quadratwurzel der Zeit anwächst. Dies beudetet, dass sich die Vola in einem Zeitraum von neun Jahren verdreifachen würde. (Wurzel aus 9).
Allerdings gibt es irgendwann einen kritischen Punkt ab dem der Zeitwert der Option wieder fällt. Dies liegt daran, dass man einen Abzinsungsfaktor hat der irgendwann größer wird als der durch die steigende Unsicherheit hervorgerufene Wertzuwachs.
Nachweisbar ist dies schnell mit einer ATM Option da diese den größten Zeitwert besitzen.
Wobei ATM nicht wie oft geglaubt bedeutet, dass der aktuelle Kurs gleich dem Strike ist.
Viel wichtiger ist, dass der aktuelle Kurs dem auf heute abgezinsten Strike entspricht bzw. der Strike dem auf den Verfallstag aufgezinsten Kurs entspricht.
Ich habe im Excel die ATM Forward Approximation von Brenner und Subrahmanyam verwendet umd den Rechenprozess zu beschleunigen.
Es zeigte sich der nachfolgende Chart der belegt, dass europäische Optionen bei steigendem Zeitwert irgendwann damit beginnen an Wert zu verlieren.
Gruss Sebastian
Hallo!
"Es zeigte sich der nachfolgende Chart der belegt, dass europäische Optionen bei steigendem Zeitwert irgendwann damit beginnen an Wert zu verlieren"
Der Satz kann so nicht stimmen - höherer Zeitwert ist doch mit höherem Wert/Preis der Option verbunden
Die Grafik ist für mich deutbar - Skalenbezeichnungen?
Gruß
@ insis [#2]
"Der Satz kann so nicht stimmen - höherer Zeitwert ist doch mit höherem Wert/Preis der Option verbunden"
Denkt man immer. Jedoch wird der Abzinsungsfaktor irgendwann dermaßen groß, dass der Wertzuwachs aus der Vola nicht mehr reicht. Somit fällt der Wert der Option.
Ich denke, dass es aus dem Grund fast niemand untersucht hat, da der kritische Punkt am oberen Beispiel bei zehn Jahren liegt. Normalerweise hantiert keiner mit Optionen die solange Laufzeiten haben.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#1]
@ Sebastian [#3]
Normalerweise hantiert keiner mit Optionen die solange Laufzeiten haben....bzw. keiner bietet dir diese Optionen an :-)
Desweiteren gilt die Grafik in #1 doch ausschließlich für Puts und nicht für Calls (glaube ich zumindest :-)
@ Sebastian [#1]
Witziger Gedanke, aber zumindest in Deiner Schlußfolgerung steckt ein Denkfehler, und zwar wegen der Bestimmung der ATM-Kontrakte.
ATM bedeutet: Aktueller Kurs gleich Strike, nicht abgezinster Kurs. Denn nur wenn der aktuelle Kurs mit dem Strike übereinstimmt, ist der Zeitwert tatsächlich am höchsten (eine Deiner Voraussetzungen).
Indem Du dagegen mit den steigenden Laufzeiten zunehmend stärker abgezinste Strikes berechnest, wandern Deine Kontrakte immer weiter in den Bereich OTM, vom heutigen Tag aus betrachtet. Deine Grafik vergleicht also nicht lediglich einen bestimmten Kontrakt mit unterschiedlichen Laufzeiten, sondern unterschiedliche Strikes mit unterschiedlichen Laufzeiten. Und daß Optionen immer günstiger werden, je weiter sie OTM wandern, auch wenn die Laufzeit ständig zunimmt, ist so neu nicht. Es kommt halt darauf an, wie groß Du die Volatilität vorgegeben hast, ab wann dieser Effekt eintritt.
Wenn Du dagegen einen "wirklichen" ATM-Kontrakt mit unterschiedlichen Laufzeiten vergleichst, also der Strike bei allen Versuchsobjekten gleich bleibt, wird auch der Zeitwert mit zunehmender Laufzeit kontinuierlich steigen.
@ kanada [#4]
"Desweiteren gilt die Grafik in #1 doch ausschließlich für Puts und nicht für Calls (glaube ich zumindest :-)"
Nein da die Approximation sowohl für Calls als auch Puts gilt. Da beide am Geld liegen spielt es nach der Formel keine Rolle welche Option es ist. Hauptsache es ist eine europäische.
Hier der Link zur Formel wobei mir die Darstellung nicht so gut gefällt. Im Buch von Espen Gaarder Haug ist es besser und allgemeingültiger dargestellt.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#6]
Hier der Link zur Formel wobei mir die Darstellung nicht so gut gefällt.
Hast ihn wahrscheinlich vergessen. Könntest ihn bitte posten. Würde mich interessieren. Danke.
Im Buch von Espen Gaarder Haug
Welches Buch? Derivatives Models on Models oder The Complete Guide to Option Pricing Formulas oder...?
MfG
@ Livetour [#5]
Entschuldige hatte Dein Posting gerade erst gelesen.
"ATM bedeutet: Aktueller Kurs gleich Strike, nicht abgezinster Kurs."
Also ich sehe das wie folgt:
Es gibt ATM Forward:
Das wäre dann Strike abgezinst auf heute oder Kurs aufgezinst auf den Verfallstag. Dann hat eine Option auch ein Delta von 50. Das BS Modell zinst den Strike ab, weswegen eine Option mit einem Kurs von heute 50 und Strike von 50 und Laufzeit von sechs Monaten heute ein Delta von 55 haben kann. Da der Strike abgezinst ist und somit die Option laut Modell im Geld notiert. Fürs Puts würde das Delta dann kleiner als 50 sein. Je mehr Zeit vergeht (und wenn wir annehmen, dass alles gleich bleibt geht das Delta der ATM Option hin zu 50 da der Abzinsungsfaktor kleiner wird).
Es gibt aber auch das normale ATM:
Bei Options on Futures wofür das Black`76 Modell genutzt werden kann oder auch die Approximation ist eine am Geld liegende Option immer ATM. Da die Formel sowohl den Kurs als auch den Strike mit dem selben Faktor abzinst auf den heutigen Tag.
Oben habe ich als Beispiel eine Option auf einen Future verwendet und damit eine klassische ATM Option. Somit müsste es eigentlich stimmen.
Bin aber für Diskussion und Anregungen immer offen.
Gruss Sebastian
@ kanada [#7]
"Hast ihn wahrscheinlich vergessen. Könntest ihn bitte posten. Würde mich interessieren. Danke."
Sorry. http://tinyurl.com/2oqjta
"Welches Buch? Derivatives Models on Models oder The Complete Guide to Option Pricing Formulas oder...?"
"The complete guide top option pricing". Das Models on Models ist habe ich bestellt ist leider noch nicht angekommen.
Gruss Sebastian
@ Livetour [#5]
Ich denke ich müsste meine Theorie auf European Options on Futures einschränken, dann funktioniert es.
Ich werde auch nochmal googeln. Kann ja nicht sein, dass ich der einzige bin der auf sowas kommt. Vielleicht gibt es ja dafür den Nobelpreis :)
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#10]
""Vielleicht gibt es ja dafür den Nobelpreis :)""
Klar - aber auch erst mit 24 Jahren Verspätung - und kurz danach darfst Du dann auch TITANIC II managen :-))
gruss hans
@ he96 [#11]
:)
Hatte von Dir eigentlich eine zynisch sarkastische Frage wie:
"Was soll das alles bringen" oder "ALL IN BET THE FARM"
Ich denke die Feststellung ist für den Handel ziemlich nutzlos. Aber man damit sicherlich einige "Gelehrte" auf die Palme bringen wenn man behauptet, dass europäische Options on Futures mit steigender Zeit weniger wert werden.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#12]
Ich denke die Feststellung ist für den Handel ziemlich nutzlos
Das dachte ich mir schon die ganze Zeit und bewundere daher alle Protagonisten dieser Diskussion, ich weiß schon, an den US Börsen ist heute nichts los, FX ist ebenso ziemlich tot und an den europ. ist auch der Hund begraben, aber um mich mit Optionspreisen mit 10 Jahren Laufzeit zu beschäftigen ist mir trotzdem nicht langweilig genug.
gruss gottfried
@ goso [#13]
Bist halt kein echter Quant :)
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#12]
""Hatte von Dir eigentlich eine zynisch sarkastische Frage wie:
"Was soll das alles bringen" "
Näh, die Antwort kannte ich ja schon - steht ja auch unten <g>
""Ich denke die Feststellung ist für den Handel ziemlich nutzlos.""
gruss hans
@ Sebastian [#8]
Oben habe ich als Beispiel eine Option auf einen Future verwendet und damit eine klassische ATM Option.
O.K., meine Grafik in #4 bezieht sich auf Aktienoptionen!
Das Buch "Derivatives Models on Models" habe ich mir nun auch bestellt.
MfG
@ kanada [#4]
Wenn ich mir die Graphik so ansehe ist es mit dem Wertverlauf logisch. Aber nicht aufgrund der Abzinsung, da bei Aktien nur der Strike abgezinst wird und nicht der Kurs.
Durch das Abzinsen des Strikes kommt der Call tiefer ins Geld (steigt somit an Wert) und der Put fällt da der Strike weiter weg vom Geld wandert.
@ kanada [#16]
Ich denke das Buch ist eine gute Wahl, da Espen Haug immer super Arbeiten abliefert. Wenn Du Dich mehr für das Thema interessierst kann ich Dir auch den Hull, Natenberg, Neil Chriss (Beyond Black Scholes) sowie Indside Volatility Arbitrage von Alireza Javaheri und The volatility surface von Jim Gatheral empfehlen.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#8]
Du scheinst mich mißverstanden zu haben. Ich versuche es hier nochmal anders.
Die Lehrbuchmeinung nimmt beispielsweise folgende Optionen:
Underlying 70, Strike 70, Laufzeit 1 Jahr
Underlying 70, Strike 70, Laufzeit 2 Jahre
Underlying 70, Strike 70, Laufzeit 10 Jahre
Underlying 70, Strike 70, Laufzeit 20 Jahre
Diese Auswahl liegt prinzipiell auch Kanadas Grafiken in [#4] zugrunde. Wenn man dann die Preise dieser Optionen miteinander vergleicht, kommt man zum Lehrbuch-Ergebnis: Längere Laufzeit führt zu höherem Preis.
Deine (Sebastians) Schlußfolgerung hingegen vergleicht andere Optionen, nämlich:
Underlying 66,59, Strike 70, Laufzeit 1 Jahr
Underlying 63,34, Strike 70, Laufzeit 2 Jahre
Underlying 42,62, Strike 70, Laufzeit 10 Jahre
Underlying 25,75, Strike 70, Laufzeit 20 Jahre
und kommt dabei zum Ergebnis: Ab einer bestimmten Laufzeit nehmen die Preise nicht mehr zu, sondern wieder ab. (Ich habe die Underlying-Kurse aus Deinem Excel-Sheet ermittelt; ich hoffe, die Zahlen stimmen soweit.) Der Grund, warum die Preise aber abnehmen, liegt nicht an der Laufzeit, sondern am abgezinsten, immer niedriger werdenden Underlying-Kurs, wodurch die Optionen aus heutiger Sicht immer weiter OTM wandern.
Mein Argument nun ist: Zwischen beiden Ansichten besteht gar kein Widerspruch, sondern beide berechnen unterschiedliche Dinge, sie sind daher nicht unmittelbar miteinander vergleichbar, schließen sich darum nicht aus, sondern haben beide "recht". Jedoch ergibt sich beides aus der Optionspreisformel und ist daher kein wirklicher Erkenntnisgewinn, ergo kein Nobelpreis. :-)
Ich denke die Feststellung ist für den Handel ziemlich nutzlos.
Für den Handel: ja, für das Optionsverständnis: nein, keineswegs nutzlos. Ich bin der Meinung, solche grundlegenden Dinge sollte man wissen und durchschauen. (Obgleich ich weiß, daß man sie nicht unbedingt wissen muß.)
@ Livetour [#18]
Danke für Deine Ausführungen. Ich stimme Dir voll zu wenn wir über Aktienoptionen reden oder Option auf Indizes mit Dividendenrenditen aber nicht bei Options on Futures.
Da hier sowohl Kurs als auch Strike abgezinst werden haben wir immer eine ATM Option. Egal wie viele Jahre die Laufzeiten betragen. Kurs und Strike werden immer mit dem selben Faktor abgezinst. Deswegen kommt es zu dieser Verschiebung.
Hier noch die Black 76 Formel für Calls um es zu verdeutlichen:
C = e^-rt(S*N(d1) - K*N(d1))
Gruss Sebastian
Die Formel für die ATM Forward Approximation für Futures:
c = p = 0,4*S*e^-rt*vol*sqr(T)
Hier spielt es auch keine Rolle, dass der Strike K nicht vorkommt. Da sowohl S=K ist und damit beide Werte den selben Abzinsungsfaktor besitzen reicht es wenn einer vertreten wird.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#20]
Danke für die Formeln. In Deinem Excel-Sheet hast Du aber das negative Vorzeichen vor dem Zinssatz vergessen. Nun rate mal, was herauskommt, wenn man das korrigiert: :-)
@ Livetour [#21]
Du gibst nicht auf :)
Schau Dir die Formel nochmal an. Ein negativer Exponent sagt nur aus, dass es einen Bruch ergibt. Das habe ich. Nur nicht mit negativem Exponent sondern als klassischer Bruch.
=0,4*($C$3[B[/B]$C$4^(($C$5)*B8))*$C$6*WURZEL(B8)
So sieht es besser aus:
=0,4*($C$3 / $C$4^(($C$5)*B8))*$C$6*WURZEL(B8)
Konnte es leider nicht fettdrucken deswegen ziehe ich es auseinander.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#22]
Du gibst nicht auf :)
Stehe aber kurz davor. :-)
Zuerst zu den Formeln: Du hast recht, es werden sowohl Strike als auch Underlying-Close gleichermaßen abgezinst, und auch der negative Exponent wird durch die vorangestellte Division durchaus berücksichtigt. Sorry, das hatte ich gestern abend beides übersehen.
Was mir dagegen nicht einleuchtet: Welchen Sinn ergibt es, Strike und Underlying-Kurs (also beide gleichzeitig) abzuzinsen? Deine bisherige Erläuterung habe ich natürlich noch im Kopf: Damit man eine ATM-Option herausbekommt. Aber das erscheint mir nicht recht sinnvoll, denn:
Mit dem Erwerb einer Option bezahlt man heute für ein Recht, das in der Zukunft soundsoviel Geld wert sein wird. Um diesen künftigen Wert schon am heutigen Tag zu bestimmen, zinst man ab, und zwar entweder den Strike (bei Aktienoptionen) oder den Underlying-Kurs (bei Optionen auf Futures).
Wenn man aber sowohl Strike als auch Underlying-Kurs abzinst, wozu führt das: Zu einer Option, die am Verfallstag bei ATM stehen wird? Bei Verfall ist ATM aber immer Null wert. Wo ist da der Sinn?
Außerdem, wenn Strike und Underlying-Kurs heute beide übereinstimmen, und ich zinse dann beide um den selben Faktor ab, dann stimmen immer noch beide Parameter überein. Es kommt dann aber ein geringerer Optionswert als bei B&S heraus. Und dieser geringere Wert entsteht auch nicht erst bei langen Laufzeiten, sondern bei jeder Laufzeit.
Offenbar geht es Dir bei all dem also um ein alternatives Bewertungsmodell zu B&S. Richtig, das schreibst Du ja auch im ersten Satz Deines ersten Postings. Und falls dieses Modell recht hat, dann sind alle B&S-Optionspreise grundsätzlich zu hoch.
Das wäre dann ja doch eine Erkenntnis, die für den realen Handel theoretisch durchaus nutzbringend sein könnte. Allerdings, wie gesagt, ist es praxistauglich, wenn man Strike und Underlying-Kurs beide gleichermaßen abzinst?
@ Livetour [#24]
"Welchen Sinn ergibt es, Strike und Underlying-Kurs (also beide gleichzeitig) abzuzinsen?"
Es handelt sich um den Zeitwert des Geldes. Das BS Modell zinst nicht den Kurs ab sondern sondern nur den Strike.
C = S*N(d1) - K*e^-rt*N(d2)
Somit ist wie weiter oben beschrieben ein ATM Call mit einer Laufzeit von sechs Monaten bei einem Kurs S von 50 und einem Strike K von 50 im Geld, da der Strike abgezinst auf heute neidriger liegt. Ansonsten könnte man den heutigen Kurs nicht mit einem Strike vergleichen der erst in sechs Monaten greift.
Allerdings gilt BS nur für europäische Optionen auf Aktien ohne Dividenden. Es gab dann aber ziemlich schnell neue Modelle die das BS modifizierten für Aktien mit Dividende, Indizes mit Dividendenrendite sowie Währungen.
Ich habe mich in meinen Ausführungen nur auf Futures bezoge da hier S=K gilt. Bei einem Future enthält der aktuelle Kurs bereits die Zinsen bis zum Verfallstag an dem auch der Strike greift. Wenn nun also der Kurs schon aufgezinst ist genauso wie der Strike, muss man beide abzinsen um den Wert am heutigen Tag zu bekommen wobei dann auch wieder S=K gilt.
Das macht das Modell von Black`76:
C = e^-rt *[F*N(d1) - K*N(d2)]
Wobei N(x) die kumulierte Normalverteilungsfunktion ist.
Da also das Black Modell den Future und den Strike auf heute abzinst kann man bei Optionen auf Futures immer sagen, dass eine ATM Option S=K bedeutet. Egal ob ich nun ab- oder aufzinse.
Wohingegen bei Optionen auf Aktien eine ATM Option S = K*e^-rt ist. Da nur der Strike mit dem Zeitwert berücksichtigt wird. Eine Aktie beinhaltet ja keine Zinsaufschläge wie Futures.
"Offenbar geht es Dir bei all dem also um ein alternatives Bewertungsmodell zu B&S. Richtig, das schreibst Du ja auch im ersten Satz Deines ersten Postings."
Soweit bin ich noch nicht aber Danke :)
Man könnte aber argumentieren und das war meine Überlegung, dass die Futures den Zins bis zum Verfallstag des FUTURES beinhalten. Wenn aber eine Option früher ausläuft beispielsweise einen Monat vorher, dann wären die Optionen auch nach dem Black Modell falsch bewertet.
Es gibt aber hierfür schon ein Modell von Miltersen und Schwartz von 1997 das diese Unterschiede berücksichtigen kann. Jedoch bin ich durch die Formel noch nicht so ganz durchgestiegen, da sich diese im Vergleich zu BS über mehrere Buchseiten erstreckt.
Gruss Sebastian
@ Sebastian [#25]
Sehr guter Beitrag! Die Unterschiede zwischen Optionen auf Aktien und auf Futures wirken sich im Detail doch stärker aus, als mir bislang klar war. Vielen Dank für diese aufschlußreiche Fortbildung. :-)
@ Livetour [#26]
Danke.
Gruss Sebastian
Und jetzt müsst Ihr den Rumpel hier nur noch in Buchform bringen - und schon könnt Ihr damit Geld verdienen :-)))
gruss hans
@ he96 [#28]
hab auch noch eine Grafik des obigen gefunden für das Buch:
gruss hans
@ he96 [#29]
Ich hätte hier auch noch einen Buchtip für Dich, damit Du, mein Sohn Brutus, das nächste Mal auch keine "rumpeligen" Threads über Bedienungsfehler in ZoneAlarm mehr eröffnen mußt:
@ Sebastian [#27]
Hast du nicht letztens in einem Thread nach der Geschichte von Optionen gefragt? Leider kann ich den entsprechenden Thread nicht finden.
Im Buch "Options: Essential Concepts and Trading Strategies: Essential Concepts" wird im ersten Kapitel kurz darauf eingegangen.
Hier ein kleiner Auszug:
@ kanada [#31]
Danke!
Hans hat mir folgendes kürzlich per Mail geschickt:
Die erste “Option“ der Finanzgeschichte:
Das fraglos wichtigste und vielseitigste derivative Finanzinstrument wurde von dem griechischen Philosphen Thales von Milet bereits in der Antike erdacht.
Durch Beobachtungen der Sterne und des Wetters sah er für das folgende Jahr eine Rekordernte bei Oliven voraus. Noch bevor sich die ersten Früchte zeigten, ging er reihum zu allen Besitzern von Olivenpressen und bot ihnen eine Vorauszahlung für das Recht (d.h. eine Option), während der Ernte ihre Geräte zu pachten. Auch über den Mietpreis verhandelte er im voraus.
Im darauf folgenden Jahr brach die Ernte tatsächlich alle Rekorde. Thales bezahlte den Besitzern der Pressen die vereinbarte Pacht und diktierte den Olivenbauern jeden Preis, den er wollte, weil sich sämtliche Pressen in seiner Hand befanden. Weil Thales den Pachtzins für die Olivenpressen schon lange vor der Ernte vereinbart hatte und sonst niemand die große Nachfrage zur Erntezeit voraussah, konnte er einen niedrigen Pachtzins aushandeln.
Er bezahlte die Pacht aber nicht sofort, sondern zahlte eine einmalige Gebühr für das Recht, die Pressen zur Erntezeit zu pachten.
Wäre die Ernte wider Erwarten doch schlecht ausgefallen, wäre er nicht gezwungen gewesen, die Pressen tatsächlich zu mieten und hätte nur die einmalige Vorauszahlung (die Optionsgebühr) eingebüßt.
Gruss Sebastian
Ja, der Thales war schon ein guer, ein reiner guter...
Laut Wikipedia hatte seine Familie phönizische Wurzeln.
http://de.wikipedia.org/wiki/Thales
Also waren's vermutlich doch die Phönizier und nicht die Griechen...
@ kanada [#16]
@ Sebastian [#9]
Das Buch "Derivatives Models on Models" habe ich mir nun auch bestellt.
Hast Du Du das Buch schon erhalten? Bei mir kam es gestern an und bislang gefällt es mir sehr gut! Kann es nur empfehlen!
Das Buch "How I Became a Quant: Insights from 25 of Wall Street's Elite" hatte ich auch gekauft. Leider finde ich es sehr langweilig und habe bereits nach der Hälfte mit dem Lesen aufgehört.
MfG
@ kanada [#34]
Nein leider noch nicht. Ich warte noch
Gruss Sebastian