Erläuterungen zur Black & Scholes Formel

Hier noch das Ausgangsposting #247, daß im Thread "Wird der Dax auf 1000 fallen" von mir veröffentlicht wurde.

wuelle Am: 09.01.2006 10:23:41 Gelesen: 10314 # 247

Beim Verständnis, was in der Black-Scholes Formel überhaupt berechnet wird, hat mir die folgende Erklärung sehr geholfen:

Die Black& Scholes-Formel errechnet den Wert einer Option aus der Differenz zwischen aktuellem Aktienkurs S und dem Barwert des Ausübungspreises E • e-id•t. Allerdings werden beide Komponenten gewichtet, der Aktienkurs (S) mit dem Faktor für die Schwankungsbreite N(y+ •√t), und der Barwert des Ausübungspreises E • e-id• t mit der Wahrscheinlichkeit, dass der Call am Ende der Laufzeit im Geld notiert (N(y)). (Quelle: CitiCollege - Teil 5)

@zuckerschlecken

Wie komme ich auf den mathematischen Zusammenhang zwischen der Normalverteilung der täglichen Rendite, aber einer Lognormalverteilung der Aktienkurse?

Lognormalverteilt sind Kursbewegungen dann, wenn die prozentualen Kursbewegungen normalverteilt sind, und nicht die absoluten.

Hier sieht man noch eine alternative Darstellung der B&S Formel für Calls. Die untere Formel in der Grafik, ist die Darstellung, die man aus der Literatur kennt. Stellt man die Formel um, kommt man zu der in der Grafik oben dargestellten Form.

Als erstes ist Black & Scholes aufgefallen, daß eine Option die am Verfall nicht im Geld ist, auch nix wert ist. :-)

Also braucht man sich im Grunde nur die Fälle (den Bereich) anzusehen, für den gilt: Aktienkurs bei Verfall größer Basispreis.

Um den Wert einer Calloption zu ermitteln, wird als erstes die Wahrscheinlichkeit gesucht, daß der lognormalverteilte Kurs (prozentuale Kursschwankungen sind normalverteilt) bei Verfall größer als der Ausübungspreis ausfällt: prob[S>X], d.h. daß die Option ausgeübt wird.

Das ist quasi die "Sorge", die Optionsschreiber haben. Läuft die Options ins Geld, wird´s ungemütlich und ein Bad´ner würde fragen: was koscht´s? :-)

Der rechte Ausdruck der Formel zeigt die erwarteten Kosten des Optionsgeschäfts, es handelt es sich um den Ausübungspreis (X) multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, daß die Calloption bei Verfall ausgeübt wird.

Bei dem linken Ausdruck handelt es sich um den erwarteten Aktienkurs (S) bei Optionsverfall, unter der Bedingung der Ausübung. Der Ausdruck zeigt den erwarteten Ertrag des Optionsgeschäfts.

Der Calloptionspreis nach Black & Scholes kann also beschrieben werden, als die erwartete Differenz zwischen Aktienkurs und Ausübungspreis, wenn die Option bei Verfall im Geld ist.

@ wuelle [#4]

"Der Calloptionspreis nach Black & Scholes kann also beschrieben werden, als die erwartete Differenz zwischen Aktienkurs und Ausübungspreis, wenn die Option bei Verfall im Geld ist."

Oder alternativ als die erwarteten Kosten die Option zu hedgen.

Gruesse,
Harun

Subba erklärt (wie der Badener zu sagen pflegt). Aber wie leitest Du Z1 und Z2 oder y aus Thread 2 her?

Grüße
Jan

@ jamfm [#6]

Aber wie leitest Du Z1 und Z2 oder y aus Thread 2 her?

In # 2 wird eine andere Notation verwendet: N(y) entspricht N(z 2) und N(y + sigma x Wurzel aus t) entspricht N (z1).

Der Weg von der Grundstruktur der Black-Scholes-Formel wie sie in # 4 oben abgebildet ist, zu der Formel unten aus dem gleichen Schaubild, die wie aus der Literatur kennen, führt über Integralumformungen. Dabei werden die beiden Ausdrücke E [S I S > X] sowie prob [S >X] in einfach tabellierbare Flächenabschnitte unter einer Standartnormalverteilung transformiert .

Zur Ergänzung:

Diese Flächenabschnitte unter der Standardnormalverteilung, die man durch die Integralumformungen erhält, sind N(z 1) und N(z 2). Die Werte für z 1 und z 2 sind im Schaubild unten dargestellt.

Der Wert y in # 2 entspricht z 2 in dem Schaubild hier:

@ wuelle [#4]

Das ist schon klar. Aber wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit eines Kurses WÄHREND der Optionslaufzeit im Gegensatz zu der altbekannten Wahrscheinlichkeit-Berechnung AM Ende der Optionslaufzeit??

Gruß

Cico

@ Cicolia [#9]

Meinst Du die Wahrscheinlichkeit im Geld zu schließen in Abhängigkeit von der Restlaufzeit?

@ wuelle [#10]

Meinst Du die Wahrscheinlichkeit im Geld zu schließen in Abhängigkeit von der Restlaufzeit?

Nein, diese Wahrscheinlichkeit im Geld zu SCHLIESSEN leitet sich nach dem gelichen bekannten Prinzip ab.

Ich erkläre es am Besten am prasktischen Beispiel eines long Straddels: Mann kann beim Kauf eines Straddels auf der Basis der Standardabweichung (Vola) die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der am Ende der Optionslaufzeit das Underlying oberhalb oder unterhalb der Breakeven-Punkte liegen wird, sprich eine wahrscheinlichkeit, ob man am Ende der Laufzeit positiv oder negativ abschneiden wird. Es ist aber mit dieser Berechnung absolut nicht gesagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Position WÄHREND der Laufzeit positives Terrain erreichen wird. Ich denke, diese Wahrscheinlichkeit sollte höher sein als jene am Laufzeitende.

Gruß

Cico

@Cicolia

Ein ähnliches Problem stellte sich mir auch vor kurzer Zeit.

Grundsätzlich hat das meiner Meinung nach aber nur sehr indirekt etwas mit der BlackScholes Formel zu tun. Denn die baut ja auf dem Zustand am Ende der Laufzeit auf. Theoretisch gesehen ergibt es wenig Sinn eine Option vor Fälligkeit auszuüben da man sonst den Zeitwert verschenken würde. (Ausnahme wären amerikanische Optionen wenn die Dividende ausreichend hoch ist.) Also stellt sich die genannte Frage für das BS Modell nicht.

Aber zur (allgemeineren) Ausgangsfrage:

Der Wert der Optionen leitet sich ja bekanntermassen aus dem Wert des Basisinstruments ab. Dessen Bewegung wird durch einen stochastischen Prozess beschrieben. Aus diesem lässt sich eine Wahrscheinlichkeitsdichte herleiten wie bspw. die berühmte Glockenkurve. Sie müssten also Gewinngrenzen bestimmen bei denen die Gesamtposition der Optionen in Abhängigkeit des Basisinstrumentes im Gewinn/Verlust liegt. Um herauszufinden wie hoch die Wahrscheinlichkeit eines Gewinns/Verlustes ist müssten Sie im Prinzip "nur" herausfinden wieviele der einzelnen Pfade des stochastischen Prozesses (Bewegung des Basisinstruments) diese Grenzen über- bzw. unterschreitet.

Mir fallen da grundsätzlich drei Möglichkeiten ein (Ausgangspunkt einzelne Option):

1) Eine relativ einfache aber nicht wirklich exakte Methode wäre das Aufzeichnen eines Binomialbaumes. Die Kursbewegungen nach oben und unten müsste man abschätzen. Hier muss man nur die Pfade zählen die die Grenze übertreten und sie ins Verhältnis zu allen Pfaden setzen.

2) Die praktischste Variante dürfte die Simulation sein. Man nimmt den stochastischen Prozess und lässt ihn über die Laufzeit x-mal durchlaufen und schaut was dabei herauskommt.

3) Die exakte Variante würde bedeuten das man für alle Pfade des stochastischen Prozesses die Dichtefunktion der Maxima bestimmt. Das Integral dieser Dichtefunktion wäre die entsprechende Verteilungsfunktion. In diese könnte man dann einfach die gefragten Werte einsetzen und die Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Die Dichtefuntkion hängt vom jeweilig unterstellten stochastischen Prozess ab und müsste prinzipiell je nach Modell (stochastischer Prozes) neu bestimmt werden.

Grüsse

@ Cicolia [#11]

zu "Das ist schon klar. Aber wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit eines Kurses WÄHREND der Optionslaufzeit im Gegensatz zu der altbekannten Wahrscheinlichkeit-Berechnung Am Ende der Optionslaufzeit ?"

M.E. ist dies ja dann die Wahrscheinlichkeit für ein Option mit einer Laufzeit, die genau an diesem Zeitpunkt ("während der Optionslaufzeit") endet.

Gruß

Herbert

@ Cicolia [#11]

Wuerde es da nicht einfach genuegen die Zeit in der Berechnung der Warscheinlichkeitsformel anzupassen. Also anstelle der verbleibenden Zeit bis zur Faelligkeit, einfach eine Zeit die geringer ist als diese.

Gruesse,
Harun

@insis @Harun

insis:

Stellen Sie sich einfach eine auf die Seite gekippte Glockenkurve eines Aktienkurses vor. Angenommen wir kaufen eine Aktie bei 100 und erwarten das Sie höchstwahrscheinlich am Ende der Laufzeit auch bei 100 (Erwartungswert) liegen wird. Die Glockenkurve beschreibt dann, um die gedachte Linie zwischen Kaufwert 100 und dem wahrscheinlichsten Wert am Ende der Laufzeit in Höhe von 100, alle möglichen Abweichungen. Über dieser Linie existieren genauso viele Abweichungen wie unter der Linie und das zu jedem Zeitpunkt.

Wenn man also wie im BS Modell fragt wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass am Ende der Laufzeit der Wert über 100 liegt, bekommt man als Antwort 50%. Denn auch am Fälligkeitstag sind die Werte um den Erwartungswert mit 50% nach oben und 50% nach unten gestreut.

WÄHREND der Laufzeit gibt es aber Verläufe die zunächst abfallen, also nicht sofort über 100 starten, und dann wieder ansteigen um für einen kurzen Augenblick die Schwelle von 100 zu übertreten, um dann wieder abzufallen und am Ende der Laufzeit unter 100 liegen. Solche Verläufe werden durch BS nicht erfasst, da diese sich nur das Ende der Laufzeit ansieht.

Die Hälfte der möglichen Bewegungen startet nach dem Kauf über 100 und erfüllt damit sofort das Kriterium MINDESTENS EINMAL über 100. Zu diesen 50% sind dann all diejenigen Verläufe hinzuzurechnen die nur kurz einmal über 100 drüber schauen, was im Endeffekt eine höhere Wahrscheinlichkeit ergibt als 50%.

Harun:

Nein das würde nicht ausreichen. Das eben beschriebene Problem wäre damit nicht zu lösen. Man würde, wenn auch über einen kürzeren Zeitraum, immer wieder nur vom Zustand am Ende der Laufzeit ausgehen.

Grüsse

@ CK [#15]

""Nein das würde nicht ausreichen. Das eben beschriebene Problem wäre damit nicht zu lösen. Man würde, wenn auch über einen kürzeren Zeitraum, immer wieder nur vom Zustand am Ende der Laufzeit ausgehen.""

Das ist klar dass das so ist. Aber er hat damit ja EINEN Tag INNERHALB der Laufzeit. Übertriebe dargestellt könnte man ja für JEDEN Tag der LAUFZEIT diese ENDPUNKTBERECHNUNG durchführen. Dann hätte man es ...

@ Cicolia [#11]

""Ich denke, diese Wahrscheinlichkeit sollte höher sein als jene am Laufzeitende.""

Ich DENKE (Du weisst, das ich von dem mathematischen Kram keine Ahnung habe) es müsste / sollte GLEICH sein.

Wären OPTRADE, STILLHALTERTRADER und noch einige andere nicht noch immer auf gemeinsamen Kegelausflug, hätten wir längst die Antwort...

gruss hans

@ CK [#15]

Ich hoffe, daß wir nicht aneinander vorbeireden.

Ausgangslage war die Frage:
"Aber wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit eines Kurses WÄHREND der Optionslaufzeit im Gegensatz zu der altbekannten Wahrscheinlichkeit-Berechnung Am Ende der Optionslaufzeit??"

Konkretes Beispiel:
Kurs Aktie 1.1.06 - 100 Euro
Option Call 100 Euro/30.6.06
Vola: 25%

Ich gehe davon aus, daß die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Aktienkurses
während der Optionslaufzeit am 1.1. erfolgt. Zu einem x-beliebigen späteren
Betrachtungszeitpunkt brauchte ich nähmlich nur auf den Aktienkurs schauen,
und benötige daher keine Wahrscheinlichkeitsberechnung mehr!

Es ist ja bekannt, daß das Binomialmodell bei feiner werdender Unterteilung des Zeitintervalls gegen den fairen Preis im BSM-Modell konvergiert.

Am Binomialmodell läßt sich nähmlich die Wahrscheinlichkeit m.E. klar erkennen.
Siehe auch Grafik (beispielhaft, nicht exakt gerechnet)

Die Wahrscheinlichkeit ist immer +50:-50 % verteilt.
Was sich im Zeitablauf verändert, ist allerdings die Schwankungsbreite
(gleichfalls 50:50), diese ist ja eine Resultierende der Volatilität.

Je länger der Zeitraum (Prognose), desto größer folgerichtig die geschätzte
Spannweite(Schwankung) um den Aktienkurs.

Folgerung:
Die Wahrscheinlichkeit des Aktienkurses zu x-beliebigen Zeitpunkt ist immer +- gleichverteilt.

Die - prognostizierte - Schwankungsbreite steigt
naturgemäß mit der Länge des berechneten Zeitraumes.

Gruß

Herbert

@ insis [#17]

Hallo insis,

In einem binominal Model a la Cox, Rubinstein ist die Wahrscheinlichkeit fuer auf und abwaertsbewegungen nicht gleich verteilt. Die Wahrscheinlichkeit fuer einen Anstieg errechnet sich wie folgt:

p=(exp(r*t)-d)/(u-d)

u=exp(vol*sqrt(t))
d=exp(-vol*sqrt(t))

wobei t die laenge eines Zeitschrittes darstellt.

Die Wahrscheinlichkeit eines Abstiegs ist dann 1-p.

Gruesse,
Harun

@insis @he96

Irgendwie sieht es aber ganz danach aus... :-)))

Ich bin von folgendem ausgegangen:

Cicola #11 "...sprich eine wahrscheinlichkeit, ob man am Ende der Laufzeit positiv oder negativ abschneiden wird. Es ist aber mit dieser Berechnung absolut nicht gesagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Position WÄHREND der Laufzeit positives Terrain erreichen wird. Ich denke, diese Wahrscheinlichkeit sollte höher sein als jene am Laufzeitende."

Das ist tatsächlich eine andere Fragestellung als die Ihre.

Grüsse

@Insis
M.E. ist dies ja dann die Wahrscheinlichkeit für ein Option mit einer Laufzeit, die genau an diesem Zeitpunkt ("während der Optionslaufzeit") endet
@harun
Also anstelle der verbleibenden Zeit bis zur Faelligkeit, einfach eine Zeit die geringer ist als diese.

So einfach ist es nicht: Um es plakativ zu machen, könnte man sich z.B. die Frage stellen, wo der Kurs anhand der Volatilität am nächsten Tag schließen wird und welcher Höchstkurs (oder niedrigster Kurs) WÄHREND des Tages erreicht wird!...

@He96
Ich DENKE (.....) es müsste / sollte GLEICH sein.

...und da der Schlußkurs mit einer überwältigenden Wahrscheinlichkeit nicht dem Höchst- oder Niedrigstkurs des Tages entsprechen würde, sind die Wahrscheinlichkeiten, wie Hans vermutet, m.E. nicht gleich.

(Optrade würde vielleicht so etwas "die gesicherte Auslenkung" nennen und vermutlich versuchen, diese aus der Kursgeschichte irgendwie empirisch abzuleiten.?? Vielleicht erfahren wir es nach dem Kegelturnier)

@CK (12)
Weg 1 macht mich nicht wirklich glücklich.
Weg 2 würde z.B. einer monte carlo Simulation entsprechen und stellt bis dato die einzige Methode, die mir bekannt ist.
Weg 3 wäre hoffentlich ein Ansatz für die analytische Lösung, die man aber wahrscheinlich eher nummerisch lösen würde (??). Wie würde die Funktion aussehen? Ich schätze, es sollte sich um zwei Glocken handeln oder liege ich falsch?

Viele Grüße

Cic

@ Cicolia [#20]

aha..... also gehts dir halt nicht drum auf SCHLUSSKURSBASIS, sondern quasi zu jeder zeit, sozusagen INTRADAY das zu rechnen.

Natürlich wird Hi und Lo meist nicht dem close sein, aber MEIST (99+%) werden da KEINE Welten zwischen liegen.

gruss hans

@he96
Natürlich wird Hi und Lo meist nicht dem close sein, aber MEIST (99+%) werden da KEINE Welten zwischen liegen.

Nach einem Tag vielleicht richtig. Die "Welten" werden aber nach ein paar Wochen oder Monaten durchaus sichtbar!

@CK & all
Noch eine Frage: ich habe hier vor einiger Zeit das Ergebniss gepostet, dass statistisch betrachtet die aus den täglichen Schwankungen berechneten Optionspreise anscheinend erstaunlich fair bewertet sind, d.h. die Optionskäufer und -Verkäufer (im gegebenen Beispiel der ATM-ein-monat-optionen) steigen entgegen den häufigen Behauptungen über einen längeren Zeitraum etwa pari aus. (In diesem Zusammenhang warte ich immer noch auf die Erklärung von Walter, dessen Meinung nach die Stillhalter 30 % Rendite einfahren).

Wäre es nun denkabar, aus der Standardabweichung der täglichen Highs and Lows auf die maximale Schwankung während der Zeit X zu schließen oder ist es ein blanker Unsinn??

Cico

@ Cicolia [#22]

""Nach einem Tag vielleicht richtig. Die "Welten" werden aber nach ein paar Wochen oder Monaten durchaus sichtbar!""

Wieso ? Es ist doch jedes mal der Vergleich des CLOSE vom TAG X mit dem HILO desSELBIGEN Tages X. Die Abweichung wird nicht grösser.

gruss hans

Damit wir nicht einander vorbai reden: Betrachte bitte den Schlußkurs nach einem Monat und die Differenzen zum high and low während dieses Monats. Anderseits vergleiche diese Differenzen für O/H/L/C eines Handelstages. Der Unterschiede sind natürlich recht groß.

@ Cicolia [#20]

1. Was ist eine "gesicherte Auslenkung" ?

2. Wie meine Sie das mit den zwei Glockenkurven ? Wie soll das aussehen und mit welchem Ergebnis ?

zu Weg 3:

Die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit mit der das Underlying während der Laufzeit einen bestimmten Wert über- oder unterschreitet erfolgt analytisch. Die grundsätzliche Vorgehensweise habe ich bereits weiter oben beschrieben. Man erhält im Prinzip eine Dichtefunktion der Maxima die in etwa aussieht wie eine halbe Glockenkurve (für mindestens einmal über einem Wert x). Warum? Weil die Maxima des stochastischen Prozesses mindestens die Höhe des Anfangswertes annehmen sonst wären es keine Maxima. Damit verteilen sich die Werte nur nach "oben".

So viel zum ersten Teil. Der zweite besteht in der Festlegung der Gewinngrenze und die dürfte nicht ganz so einfach sein. Denn da Optionen einen Zeitwert haben der sich mit der Zeit ändert kann keine fix Grenze festgelegt werden (Am Anfang müsste das Underlying weniger ansteigen als am Ende). Technisch gesehen sähe die analytische Variante so aus, dass man den Callwert auf den Wert bei Kauf fixiert und dann die BS nach dem jeweilig aktuellen Kurs des Underlyings S umstellt. Dann dürfte man eine Funktion erhalten die nur noch von der Zeit t abhängt. Ob das allerdings überhaupt funktioniert, da sich S ja in der Ermittlung der Stelle in der Normalverteilung versteckt, kann ich nicht sagen.

Ansonsten könnte man eben viele Werte in BS einsetzen und daraus eine Funktion zusammenbauen. Wenn man ausreichend viele Werte nimmt dürfte der Unterschied zu einer (möglichen) analytischen Lösung sehr sehr klein sein.

Grüsse

@ CK [#25]

"gesicherte Auslenkung" (der Begriff steht zwischen "", weil an der Börse gar nix gesichert ist und auch mathematisch ist dies kein korrekter Ausdruck) z.B. als Wahrscheinlichkeit (auf der Basis einer, zwei, drei etc. Standardabweichungen), dass der Kurs des Undelyings während des berachteten Zeitraumes zumindest die Werte S+x oder S-x berührt.

Wie meine Sie das mit den zwei Glockenkurven
Sie haben es schon korrekt kommentiert - es handelt sich um zwei Halbglocken,
(die dann zusammen wieder eine Glocke bilden würden).

Der "zweite Teil" ist mir prinzipiell klar, mir ist aber vor allem um den ersten Teil der Fragestellung gegangen.

Die grundsätzliche Vorgehensweise habe ich bereits weiter oben beschrieben.
Ja, ginge es vielleicht auch in Form einer mathematischen Ableitung ein wenig konkreter?

Werde nächste Woche während meines Urlaubes in den Bergen im Schnee gerne darüber nachdenken (super Urlaub :-(

Viele Grüße

C.

@Cicolia

in vielen postings werden grundsätzlich zwei Dinge unerlaubterweise in einen Topf geworfen wo sie nicht hingehören. A. die Optionstheorie mit Ihren Berechnungsgrundlagen B. der Versuch der Anwendung dieser Grundlagen ohne wenn und aber auf ein Einzelereignis, sprich Trade bzw Strategie in einem einzeln definierten Zeitabschnitt. Die genaue Verteilungsfunktion in einem einzeln selektierten Zeitabschnit kennt man erst am Ende der Restlaufzeit. Die Optionstheorie auf dieses Einzelereignis anzuwenden ist genauso erfolgreich als wenn man für eine Wahlhochrechnung eine einzelne Person berfagen würde.
Bezüglich der Auslenkung wie ich sie beschrieben habe möge man urteilen wenn Sie programmiert und getestet wurde. Erklärung und Code dazu ist nachzulesen. Ich habe nie von gesicherter Auslenkung, sondern von höchstwahrscheinlich zu erwartender Auslenkung gesprochen. Dazwischen liegen Welten.

Gruß OPTRADE

@ Optrade [#27]

Die Optionstheorie auf dieses Einzelereignis anzuwenden....

....war nie meine Absicht. C

@ Cicolia [#26]

--> "Ja, ginge es vielleicht auch in Form einer mathematischen Ableitung ein wenig konkreter?"

Sicher... Ich hätte da einen Link der Sie sicher sehr interessieren wird.

http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ss05/wt/skript/skript.html

Was Ihre ganz konkrete Fragestellung anbelangt finden Sie unter dem Unterpunkt 'Wiener Prozess' (bzw. Brown'sche Bewegung) ein Kapitel 'Verteilung des Maximums' indem die für Sie ausschlaggebende Formel (ganz am Ende des Kapitels zu finden) hergeleitet wird. Das dürfte jede diesbezügliche Frage beantworten. ;-)

@ Cicolia [#22]

--> "Wäre es nun denkbar, aus der Standardabweichung der täglichen Highs and Lows auf die maximale Schwankung während der Zeit X zu schließen oder ist es ein blanker Unsinn??"

Ich würde sagen das käme auf einen Versuch an. Ob das tatsächlich einen adäquaten Nutzen bringt oder nicht kann wie immer nur die Praxis zeigen.

--> "ich habe hier vor einiger Zeit das Ergebniss gepostet, dass statistisch betrachtet die aus den täglichen Schwankungen berechneten Optionspreise anscheinend erstaunlich fair bewertet sind..."

Könnten Sie mal bitte kurz darstellen was Sie wie getestet haben und mit welchem (genauen) Ergebnis bzw. mir den Link geben??? Den Punkt finde ich recht interessant.

Grüsse und schönen Urlaub

@Cicolia

Nachdem ich am Kegelabend den Trostpreis bekam habe ich in Trauerstimmung nachfolgende Grafik erstellt.
Oberstes Fenster:
Balkenchart(cyan), Spitzenauslenkung 90 Tage, Ergebnisse 1000 Tage geglättet.
Linienchart(rot), Stdabw. 90 Tage, Ergebnisse 1000 Tage geglättet
Mittleres Fenster:
Balkenchart(blau), Spitzenauslenkung 90 Tage
Linienchart(rot), Stdabw. 90 Tage
Unteres Fenster: Chart
Alle Ergebnisse sind Absolutwerte. Auf die Schnelle erstellt sollte aber stimmen.
Man sieht wie es sich lohnen würde sich auf die Spitzenauslenkung zu konzentrieren. Im Einzelfall wird klar daß bei Erreichen dieser Grenze eine Agitation zwingend wird.

Gruß OPTRADE

@CK

"Was Ihre ganz konkrete Fragestellung anbelangt finden Sie unter dem Unterpunkt 'Wiener Prozess' (bzw. Brown'sche Bewegung) ein Kapitel 'Verteilung des Maximums' indem die für Sie ausschlaggebende Formel (ganz am Ende des Kapitels zu finden) hergeleitet wird. Das dürfte jede diesbezügliche Frage beantworten. ;-"

Da sind wir genau wieder beim Punkt. "Brownsche Bewegung und Verteilung des Maximums" läßt sich nicht auf einen definierten Zeitabschnitt hochrechnen.(Laplace!). Bei einem einzelnen Trade handelt es sich immer um eine in sich geschlossene Handlung in einem definierten Zeitabschnitt. Genau aus diesem Grunde habe ich immer auf ineinandergreifende Tradeserien hingewiesen, um indirekt diese Verteilungsfunktion überhaupt für sich gewinnbringend durch eine entsprechende "Funktion" für sich nutzen zu können.

Gruß OPTRADE

@Cicolia

@ CK [#29] Die Formel die eigentlich meinte steht unter "Reflexionsprinzip des Wiener-Prozesses; Verteilung des Maximums". --> dort Theorem 3.16

Grüsse

@ Optrade [#31]

Ich lasse mich ja gerne überzeugen, aber könnten Sie Ihren Standpunkt bitte etwas genauer darstellen, dass ich/man den auch genau nachvollziehen kann bzw. mir einen Link zur Verfügung stellen?

Grüsse

@ CK [#29]

Könnten Sie mal bitte kurz darstellen was Sie wie getestet haben und mit welchem (genauen) Ergebnis bzw. mir den Link geben? Den Punkt finde ich recht interessant.

Gerne: http://www.terminmarktwelt.de/cgi-bin/nforum.pl?ST=13174&CP=0&F=IMQKK
Thema: Volatilität und Optionspreise: Überlegungen und Auswertungen
(Man kann auch bei http://www.terminmarktwelt.de/cgi-bin/nforum.pl?ST=13261&CP=0&F=47 vorbeischauen)

Danke für den Link, den ich mir gerne anschauen werde. Ich habe bisher aus dem Hull "Options, Futures and Other Derivatives" geschöpft. Das Buch kann ich für Interessierte auch empfehlen.

Vielleicht noch eine Klarstellung: Für das Integral der Dichtefunktion hätte ich eine Lösung, der zentrale Punkt stellt aber die Ermittlung der Parameter der entsprechenden Verteilungsfunktion dar. Das faszinierende an der BS Optionstheorie ist eben die Erkenntnis, dass man auf der Basis der Standardabweichung in der Lage wäre, die Wahrscheinlichkeit der Kursverteilung nach der beliebigen Zeit X sowie den entsprechenden fairen Optionspreis zu ermitteln.

Natürlich könnte man für unsere Fragestellung im historischen Rückblick systematisch die highs and lows bestimmten jeweiligen Perioden auswerten und nach dem bekannten mathematischen Regelwerk die Dichtefunktion konstruieren. Mein Interesse gilt aber der Frage, ob aus den Schwankungen anderer Perioden (z.B. Tages- oder Wochenschwankungen) die Parameter für diese Funktion ermittelbar wären bzw. ob die Funktion - ähnlich wie bei der BS Formel - als Funktion der Zeit funktionieren würde.

Gruß

Cic

@ Cicolia [#34]

Worum genau geht es Ihnen ?

1. Meinen Sie die Parameter der BS Funktion bzw. der dem Modell unterstellten Normalverteilung der Renditen ?

Hier ist die Einflussgrösse für die Schwankungen, wie Sie ja selbst schreiben, die Standardabweichung. Ausgehend von der Tatsache dass die Renditezuwächse als unabhängig voneinander angenommen werden, könnten Sie prinzipiell die Standardabweichungen (STA) anderer Perioden (Tage, Wochen) bestimmen und diese dann auf das BS anwenden. Sie müssen eben nur schauen das Sie die Periodenlänge der ermittelten STA anpassen, also ihre kürzere Periode aufs Jahr hochrechnen.

Ob das tatsächlich einen Sinn ergibt? Kann nur die Praxis zeigen.

2. Wollen Sie andere Verteilungen zur Optionspreisberechnung heranziehen?

Da hätte ich einen Link für Sie:

http://privatehttp://www.essex.ac.uk/~aalent/GEV/Amadeo_Alentorn_GEV.pdf

Ausgehend von der Kritik am BS-Modell wird hier als Alternative die GEV-Verteilung zur Optionspreisbestimmung vorgestellt. Dieses Modell soll die Schwachstellen von BS beheben.

3. Noch was anderes...

Grüsse

@ CK [#35]

Der Link funktioniert nicht. Das "http://" wird immer vor dem "WWW" eingefügt. Sehr seltsam.

Hier ein anderer Link: http://snipurl.com/vbtm

MfG

@ CK [#35]

Kanada hat recht, der Link hat einen Bug

Worum es mir geht? Immer noch um dasselbe (siehe #9):
wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit eines Kurses WÄHREND der Optionslaufzeit im Gegensatz zu der altbekannten Wahrscheinlichkeit-Berechnung AM Ende der Optionslaufzeit??

Das Optionspricing hat mit dieser Frage (noch) nichts zu tun.

@ Cicolia [#11]

Es ist aber mit dieser Berechnung absolut nicht gesagt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Position WÄHREND der Laufzeit positives Terrain erreichen wird. Ich denke, diese Wahrscheinlichkeit sollte höher sein als jene am Laufzeitende.

Bei Deiner Fragestellung habe ich zunächst unterstellt, daß die Zeitspanne bis zum Verfall einer Option, die noch eine Restlaufzeit hat, größer ist, als die Zeitspanne bis zu einem beliebigen Zeitpunkt während der Laufzeit, den Du untersuchen möchtest. :-)

Wenn man diese Annahme unterstützt gilt: Je kürzer die Zeitspanne, desto geringer die Wahrscheinlichkeit, daß der Kurs eine bestimmte Schwelle (positives Terrain) erreicht.

Somit wäre die Wahrscheinlichkeit, mit der die Position während der Laufzeit positives Terrain erreicht, entgegen Deiner Annahme geringer als jene am Laufzeitende.

Siehe dazu die Grafik unten: Die Wahrscheinlichkeit, daß der Kurs nach 100 Tagen über 120 Euro notiert ist 3,64 %. Die Wahrscheinlichkeit, daß der Kurs schon während der Laufzeit, zum Beispiel schon nach 20 Tagen, über 120 Euro steigt, ist rechnerisch 0.00 Prozent.

@ Cicolia [#37]

Das Optionspricing hat mit dieser Frage (noch) nichts zu tun.

Denkbar ist, daß diese Fragestellung der Wahrscheinlichkeitsanalyse im Zusammenhang mit der impliziten Volatilität sehr wohl mit dem Optionspricing zu tun hat.

Die Wahrscheinlichkeit „at end of day“ nach 100 Tagen von 3.64 Prozent in der Grafik unten, entspricht dem in # 38 gezeigten Wert der Grafik „Stock Price Distributions“. Man vergleiche mit der Wahrscheinlichkeit „at any time during the period“...

wie ermittelt man die Wahrscheinlichkeit?

Hoadley helps :-)

http://www.hoadley.net/options/barrierprobs.aspx

@ wuelle [#38]
@ wuelle [#39]

Somit wäre die Wahrscheinlichkeit, mit der die Position während der Laufzeit positives Terrain erreicht, entgegen Deiner Annahme geringer als jene am Laufzeitende.

In diesem Zusammenhang: Was bedeutet dann die 7,44% im Schaubild neben Deiner rot eingekreisten 3,64%? :-)

@ Livetour [#40]

Die 7,44 % gibt die Wahrscheinlichkeit an, daß der Kurs während der Optionslaufzeit „irgendwann mal“ (at any time during the period) über die 120 Euro läuft. Diese ist selbstverständlich größer, als die Wahrscheinlichkeit, gerade am Verfalltag (at period end) über dem Strike zu notieren.

Man stelle sich einen Spieler vor, der mit 100 Euro ein Spielkasino betritt und den ganzen Abend kontinuierlich spielt. Black & Scholes berechnen die Wahrscheinlichkeit, daß er mit 120 Euro das Kasino verlässt. Die Wahrscheinlichkeit, daß er irgendwann im Verlaufe das Abends einmal stolzer Besitzer von 120 Euro ist, dann aber wieder verliert und mit weniger als 120 Euro nach Hause geht, ist zwangsläufig höher.

Je häufiger wir unseren Spieler nun beobachten, zum Beispiel wenn wir ihn keine Sekunde aus dem Auge lassen, oder aber nur alle 15 Minuten oder nur einmal in der Stunde, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, unseren Spieler zumindest einmal mit 120 Euro auf dem Tisch anzutreffen.

Black & Scholes und die Eurexteilnehmer gehen bei der Optionsbewertung vom Prinzip des „Abgerechnet wird zum Schluß“ aus :-)

Notiert das Underlying bei Verfall unter dem Basispreis, können wir uns nichts dafür kaufen, daß der Basiswert irgendwann mal über dem Strike notiert hat. Die Eurex wird uns kein Geld gutschreiben.

@ wuelle [#41]

Ist schon klar. :-) Ich hatte Cicolias ursprüngliche Anfrage aber so verstanden, daß sie genau danach gefragt hat: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Kursziel "irgendwann mal" innerhalb der Restlaufzeit getroffen wird? Daher auch ihre (zutreffende) Vermutung, daß diese Wahrscheinlichkeit höher als bei einem festgelegten Stichtag sein wird.

Nun, wenn sie von ihrem August-Urlaub zurückkommt, und bevor sie in ihren September-Urlaub startet, wird sie diese Frage ja nun beantwortet finden...

@ Livetour [#42]

Hoadley und OptionBook errechnen in dem oben gezeigten Beispiel für die Wahrscheinlichkeit, daß die Option bei Verfall im Geld ist, übereinstimmend einen Wert von 3.64 Prozent.

Ich habe ein Excel-Arbeitsblatt zu B&S angelegt, in dem die Rechenergebnisse der Optionsprämien soweit korrekt ermittelt werden. Excel errechnet jedoch mit der Funktion STANDNORMVERT(d2) einen Wert von 4.31 Prozent statt 3.64 Prozent.

Die Rechenergebnisse aus der Excel-Funktion STANDNORMVERT(d2)liefern mir den korrekten B&S Optionspreis, aber die Werte für Ausübungswahrscheinlichkeit N(d2) stimmen nicht! Hast Du eine Idee, woran das liegen könnte?

@ wuelle [#43]

Wenn man verschiedene Beispiele durchprobiert, fällt auf, daß die von Hoadley & Co. ausgeworfenen Werte ziemlich konstant um ca. 15% zu niedrig sind. Van Tharp hat mal empfohlen, die Werte der Standardabweichung zwischen 10 und 20% zu korrigieren, weil die Marktpreise ja auch nicht wirklich normalverteilt sind. Möglicherweise haben Hoadley & Co. alle Van Tharps Buch gelesen? :-)

@ Livetour [#44]

Du hast also diese Abweichungen auch festgestellt! Die errechnen die Wahrscheinlichkeiten offensichtlich nicht mit N(d2). Auch Hoadleys Excel Arbeitsblatt "Samples and Instructions" errechnet mit der Funktion "ProbatEnd" 3.64 Prozent.

Mal gespannt, ob wir gemeinsam das Rätsel lösen können. :-)

@ wuelle [#45]

Wenn Hans nicht mit Cic in Urlaub wäre, würde er jetzt wahrscheinlich hier schreiben: "Warum MAILT Ihr Hoadley nicht mal an? Der Typ ist SUPERNETT und antwortet innerhalb von STUNDEN/MINUTEN. TRY IT!"

Ich würde dann antworten: "Weil ich kein Hoadley-Kunde bin. Hoadley antwortet nur offiziellen Usern seiner Software."

Hans würde dann wieder schreiben: "Und was ist mit WUELLE?"

Diese Frage kann ich nur weitergeben: Wuelle, willst Du Hoadley nicht mal fragen, wie er seine Probability berechnet? :-)

@ wuelle [#45]

Hoadley bietet seinen Probability Calculator übrigens auch in einer Online-Version an. Leider hat er die Formeln nicht in den Quelltext der Website reingepackt, :-) sondern hält sie serverseitig in einem Script unter Verschluß.

Hier noch ein weiteres Beispiel, das zu nochmal anderen Ergebnissen kommt:

http://www.optionvueresearch.com/webtools2/ProbabilityCalculator.asp

@ wuelle [#45]

Nach ein bißchen Recherche im Web tauchen im Zusammenhang mit den Wahrscheinlichkeitsberechnungen immer wieder die Namen Broadie, Glasserman und Kou auf, des weiteren auch Imai und Boyle. Dabei scheint es stets darum zu gehen, die Preisformel einer Korrektur zu unterwerfen. Wie ich oben in [#44] bereits schrieb, ist das möglicherweise schon das ganze Geheimnis.

Nebenbei, berücksichtigst Du die Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen tatsächlich bei Deinen Anlageentscheidungen? Abgesehen von der B&S-Formel, gehe ich allem aus dem Weg, was irgendwie mit der Standardabweichung zu tun hat, weil ich mich davon überzeugen ließ, daß diese Erkenntnisse nicht auf Marktpreise anwendbar sind. Darum auch nur mein halbherziger Einsatz bei der Erörterung dieses Themas. :-)

@ kanada [#36]

Vielen Dank für den Hinweis + Ausweichlink!

@ Cicolia [#37]

Da funktioniert das prinzipiell auch.

@ Livetour [#48]

"...weil ich mich davon überzeugen ließ, daß diese Erkenntnisse nicht auf Marktpreise anwendbar sind."

Die Probleme liegen wohl hauptsächlich im Extrembereich der Normalverteilung. In diesen Bereichen werden Risiken unterschätzt. Zumindest ist das die Aussage der empirischen Arbeiten die ich (bisher) gesehen habe. Im grossen und ganzen ist die NV demnach also ganz brauchbar. Und für den Rest gibt es z.B. Verbesserungsmöglichkeiten wie die GEV-Verteilung die versucht die Extremwerte realistischer darzustellen.

@all

Hier ein kleiner Gedanke zum kurz nachgrübeln den ich irgendwo mal gelesen hatte und ganz witzig fand:

Das BS geht von der Existenz eines Portfolios aus das die Option dupliziert. Nur wenn dieses Portfolio existiert wozu gibt es dann überhaupt Optionen??? Damit macht sich die BS eigentlich selbst überflüssig oder die Annahme ist falsch. ;-)

Grüsse

@ CK [#49]

Im grossen und ganzen ist die NV demnach also ganz brauchbar.

Nach meinen Beobachtungen versagen die Wahrscheinlichkeitsberechnungen im Kleinen wie im Großen. Im Kleinen sind die Abweichungen lediglich gering genug, daß sie im Rahmen der meisten Optionsstrategien keinen großen Schaden anrichten. Untauglich bleibt ihre Anwendung trotzdem.

Nach meinen persönlichen Untersuchungen endet die Anwendung von Wahrscheinlichkeitsberechnungen regelmäßig im Ruin, wenn man ihren Einfluß nicht durch andere Faktoren begrenzt (z. B. Positionsgrößenmanagement). Und je stärker man ihren Einfluß begrenzt, desto stabiler wird die Ertragskurve. Daraus habe ich für mich persönlich den Schluß gezogen, auf die Erkenntnisse der Normalverteilung ganz zu verzichten.

Nur eine Meinung. :-)

@ Livetour [#48]

Nebenbei, berücksichtigst Du die Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen tatsächlich bei Deinen Anlageentscheidungen?

Sollte man als Optionstrader auf das Begreifen der Ausübungswahrscheinlichkeit verzichten? Wenn man begriffen hat, ist man schlauer und viele Geschäfte, mit denen man als Anfänger so viel Geld verloren hat, werden nicht mehr in Betracht gezogen.

Man könnte sich beispielsweise fragen, ob man eine Option kaufen möchte, die mit 3.64 Prozent Wahrscheinlichkeit per Verfall im Geld sein wird bzw. mit 7.44 Prozent Wahrscheinlichkeit irgendwann während der Laufzeit den Strikepreis überschreiten wird.

Nicht mehr, aber auch nicht weniger, kann diese Kennziffer leisten.