Power law (s) und technische Analyse

Power law 1:
Ocean equation (von Jim Sloman)
"Price movement, on average, changes at the square root of time!"

In seiner Veröffentlichung "Ocean theory" hat Sloman die Beziehung von Preisänderungen zur Zeitspanne untersucht. Wenn man dies macht kommt, man für unterschiedlichste Märkte und Zeitreihen auf die o.g. Aussage:

die absolute Grösse der Kursänderung beträgt Wurzel(2) also ca. 1,41 der Zeiteinheitenspanne.

Quelle:
http://www.mayyoubehappy.com/oceanequation.html

Sloman hat dies u.a. für Commodities (Weizen etc.) und Gold getestet, mein u.s. eigenes Beispiel (Bild) bezieht sich auf den Dax Index der letzten 10 Jahre.

Man sieht auch hier, dass jede Verdoppelung der Zeiteinheit zu Ratios zwischen 1,39 und 1,42 führt (ratio1) und jede Vervierfachung zu Ratios zwischen 1,98 und 2,00 (ratio2).

ciao,
zentrader
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Power law 2:
The inverse cubic law distribution of stock price fluctuations (Xavier Gabaix)

Quelle:
u.a.
http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1257822 (Seite 35ff)

Dieses power law wurde mit Daten der grössten 1000 US-Aktien berechnet und besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeit einer Preisänderung kubistisch (hoch 3) ermitteln lässt.

Beispiel:
die Aktie hat eine durchschnittliche tägliche Preisänderung von 2%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis am Tag um 10% ändert ist 5(hoch 3) also 125x kleiner als die Wahrscheinlichkeit einer Preisänderung um 2%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis am Tag um 20% ändert ist 10(hoch 3) also 1000x kleiner als die Wahrscheinlichkeit einer Preisänderung um 2%.

usw.

Ich hab dies mit bekannten Stock Indizes (Dax, DJI, SP500), mit dem Bund Future FGBL und dem EUR/USD (alles EOD Daten) versucht zu reproduzieren, bekam aber im Gegensatz zum power law 1 (siehe Beitrag #2) hier keine Bestätigung hin. Vielleicht hab ich hier schlampig gearbeitet - vielleicht funktioniert der Ansatz aber auch nur mit Einzelaktien...

Egal - bei der Überprüfung habe ich dafür etwas anderes herausgefunden, dass mir auch recht interessant erscheint. Vielleicht ist dies auch schon bekannt - mir jedenfalls so nicht. Doch davon im nächsten Beitrag.

ciao,
zentrader

Power law 3:
Die Verteilung der Kursänderungen (Ratio kleiner / grösser als Durchschnitt) ist in unterschiedlichen Märkten sehr ähnlich.

Ich habe dies bei der Überprüfung von power law 2 (siehe Beitrag #3) festgestellt.

Beispiel:
Der Dax Index hatte in den letzten 10 Jahren eine durchschnittliche Kursänderung von 1,14% am Tag. 62% der Kursänderungen waren <= diesen 1,14%, 38% > 1,14%

Das Verhältnis 62/38 kommt einem irgendwie bekannt vor, oder? Genau, der alte Fibonacci lässt grüssen!

Hier alle Resultate für die untersuchten 5 Märkte:

Dax Index (1,14%), Ratio 0,62/0,38
DJI (0,87%), Ratio 0,64/0,36
SP500 (0,93%), Ratio 0,64/0,36
EUR/USD (0,50%), Ratio 0,60/0,40
FGBL (0,25%), Ratio 0,60/0,40

Anbei auch ein Screenshot (wieder für den Dax).

Ok - das wär's erstmal von mir. Schönes Wochenende!

ciao,
zentrader
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@ zentrader [#2]
Gute Idee, mal gemeinsam etwas Theorie anzusehen.

Das erste power law ist jedoch nichts Überraschendes. Die Ausbreitung mit sqrt(t) ist eine Eigenschaft des (eindimensionalen) random walk. Da wir wissen, daß ein random walk zwar keine komplett richtige Beschreibung von Preisänderungen ist, aber oft eine gute Näherung darstellt, ist diese Verteilung zu erwarten.

Die anderen Verteilungen sind mir neu. Die muß ich genauer ansehen, bevor mir dazu (vielleicht) etwas einfällt.

@ zentrader [#3]

vielleicht funktioniert der Ansatz aber auch nur mit Einzelaktien

Ich habe es auf knapp 500 Einzelaktien durchgerechnet, mit jahre- und jahrzehntelangen Historien, und auch hier funktioniert der Ansatz nicht:

Wenn der Ansatz funktionieren würde, wenn also die Formel die Eintrittswahrscheinlichkeiten zutreffend berechnen würde, dann müßten alle Säulen den Wert 1 haben, mehr oder minder. Tatsächlich aber treten die relativ kleinen Preisänderungen weniger häufig auf als erwartet (Wert unter 1), und die großen Preisänderungen deutlich häufiger (Wert über 1).

Richtig fette tails.

@ zentrader [#4]

Das Verhältnis 62/38 kommt einem irgendwie bekannt vor, oder? Genau, der alte Fibonacci lässt grüssen!

Mir fällt dazu eigentlich eher der alte Gauß ein, und zwar die Zwei-Drittel-Eintrittswahrscheinlichkeit innerhalb einer Standardabweichung.

Eventuell liest @SwingMan ja (noch) hier mit und hat Lust, jetzt mit ein paar Jahren Abstand nochmal auf seine (sorry ich weiß es jetzt nicht mehr besser) "braunsche Schwingungsthorie" und seine Umsetzung auf DAX-Levels einzugehen...

Die theoretischen Grundlagen waren ja damals schon umgesetzt, und nun gab es auch genügend verschiedene/neue Marktphasen, um sich ein Urteil auf die "Beständigkeit" und Rubustheit des Ansatzes zu machen.

@Swingman, du hast das Wort... ;)

@ Asamat [#5]

m.E. ist dies keine Grundeigenschaft des Random Walks, sondern lediglich eine von unterschiedlichsten Prämissen, einen solchen durchzuführen.

Die Erkenntnis, dass unterschiedlichste Märkte dieses Muster aufweisen ist eben im Sinne der Definition das entsprechende "Power law".

Überraschend ist es eher deshalb nicht, weil es auf anderen Gebieten eben auch greift: Brown'sche Bewegung, Helligkeit von Sternen, Erdbebenverteilung etc. etc.

Deshalb für mich hochinteressant, wie exakt diese PL auch für die "nicht-physikalisch begründeten" Märkte zutrifft.

Ein paar Beispiele mehr (Zeiteinheiten/Preisänderungsfaktor):

Dax: 2 / 1,43 ... 4 / 1,41
DJI: 2 / 1,41 ... 4 / 1,38
SP500: 2 / 1,41 ... 4 / 1,36
EUR/USD: 2 / 1,41 ... 4 / 1,42
FGBL: 2 / 1,43 ... 4 / 1,42

@ Livetour [#7]

nun, ich habe in den Beispielen bislang nur mit einfachen prozentualen Abweichungen gearbeitet. Eine Gauss'sche Normalverteilung unterstellt, läge der Wert für die 1s-Sicherheit bei 68,3%... aber die Normalverteilung ist vielleicht nicht der richtige Ansatz für Kurse und Kursänderungen (Stichwort: fat tails).

@ TimeTrade [#8]

danke für den Hinweis. Mal schauen, ob man noch etwas im Archiv findet. Besser wäre es natürlich, wenn er sich selbst dazu äussert.

ciao,
zentrader

@ zentrader [#9]

"m.E. ist dies keine Grundeigenschaft des Random Walks, sondern lediglich eine von unterschiedlichsten Prämissen ..."

Zeitreihen an der Börse sind stochastische Prozesse, die mit Hilfe von Markov-Ketten beschrieben werden. Markov-Ketten sind als allgemeine Beschreibung ziemlich anspruchsvolle Mathematik. Im einfachsten Fall von einer eindimensionalen, diskreten Variablen und diskreten, gleichförmigen Zeitsprüngen reduziert sich das auf den umgangssprachlichen "random walk". Dieser ist einfach zu beschreiben und einfach zu visualisieren, und hat in dieser Form die Eigenschaft mit sqrt(t).

Ich glaube, über keinen dieser Sätze kann man unterschiedlicher Meinung sein. Und daher werden alle Sachen, die man mit einem eindimensionalen, diskreten random walk annähern kann, diese Abhängigkeit zeigen. Das ist genauso erstaunlich oder genauso wenig erstaunlich wie daß alles, was normalverteilt ist, die Eigenschaften einer Normalverteilung zeigt.

"Die Erkenntnis, dass unterschiedlichste Märkte dieses Muster aufweisen ist eben im Sinne der Definition das entsprechende "Power law"."

power law bezeichnet einfach nur eine Abhängigkeit der Form y = c * x^k, mit Konstanten c und k. Das "power" im Namen kommt aus dem Englischen und bedeutet potenzieren, nämlich mit k. Das besondere an solchen Verteilungen ist, daß sie in eingeschränkten Bereichen skaleninvariant sind und man hofft, daraus tieferliegende Zusammenhänge ableiten zu können.

Daß man so viel damit beschreiben kann, liegt daran, daß das eine recht allgemeine Klasse von Funktionen ist.

@ Asamat [#10]

d'accord - hatte wohl das "eindimensional" überlesen, da ja auch andere Approximationen etc. - nicht nur SQRT(t) - für Random Walk Kalkulationen verwendet werden...

Das Power law bleibt jedoch trotz oder gerade wg. der Einfachheit interessant, zumal so eine Vergleichbarkeit von Märkten ermöglicht wird.

Für mich jetzt an dieser Stelle interessant:
hat aus diesen "ex post"-Kenntnissen jemand mal etwas "brauchbares" in Richtung Marktanalyse oder gar Prognose gebaut (mal ausser dem von mir oben zitierten Sloman - siehe #2) bzw. publiziert?

ciao,
zentrader

@all,

ich habe auf meiner Website in der Freeware Section mal eine zip-Datei (zen_powerLaw.zip) mit zwei Excel-Beispielen bzgl. Power law 1 (siehe Beitrag #2) und Power law 3 (siehe Beitrag #4) zum Download zur Verfügung gestellt. Ich hab diese PLs zwar jeweils mit mehrern Märkten getestet (Dax Index, Dow Jones, S&P, EUR/USD, FGBL etc.), die Dateien sind aber nur ein Muster und enthalten aus Platzgründen nur den Dax Index. Aber so kann jeder ja selbst mal - sofern Interesse besteht - für seinen Zielmarkt ein wenig testen.

In diesem Zusammenhang habe ich mein Freeware Programm "Zen Analyzer v1.2" aktualisiert, so dass dort jetzt zusätzlich auch die Verteilung von Ups und Downs sowie die durchschnittlichen prozentualen Abweichungen vom Mittelwert (sowohl absolut, als auch getrennt für Ups und Downs) ausgewiesen werden.

Link:
http://www.zentrader.de/html/support.html

ciao,
zentrader
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zentrader [#2],

also ich kann Deine Betrachtung div. Power Law-Regeln an Hand des Ocean Theorie-Konzepts von Sloman und Ravalovich nicht so richtig nachvollziehen.
Die nachfolgende Bild zeigt den Inhalt des ersten Ocean Paketes – daraus ein Chart mit dem „NMC“-Indikator im Vergleich zum „Williams%R“. Aus dem Ocean Plus Paket habe ich einen Chart mit dem „BTX“-Indikator ausgewählt.

Für mich sind das Indikatoren, die schon von anderen Charttechnikern (z.B. Dynamic Zones von RINA Systems, J. Bollinger) entwickelt wurden. Wo steckt da die „neue“ Power ? Die Einbeziehung des Faktors „Zeit“ kann ich auch nicht erkennen.
Mir erschließt sich ebenfalls nichts Neues, wenn ich mir die Video-Präsentation von Sloman zur Ocean-Theorie mehrmals ansehe. Komme ich möglicherweise nur nicht hinter den „maybeyoubehappy“-Spirit der Herangehensweise und begreife das „Vermarktung“–Konzept nicht ?

Sixer

@ Sixer [#13]

wenn man die Preise auf seiner Website sieht (ich habe mir übrigens nur das Büchlein geleistet) und dies mit den "zufriedenen Kunden" multipliziert trifft "maybeyouhappy" zumindest auf ihn zu... :-)

Die Ocean Equation betrifft ja nur das von mir in #2 aufgezeigte Power law. Schon Sloman hat in seinem Buch ja geschrieben, dass er dies nicht erfunden hat (das gab's in den Naturwissenschaften schon vielfach zuvor publiziert), sondern es für ihn eine breite Basis war, diese von Dir zitierten Indikatoren (NMM. NMR etc.) zu entwickeln.

Ob diese besser sind als andere - ich weiss es nicht? Wenn Du sein Paket hast, wirst Du das ohnehin besser beurteilen können. Mein eigenes Indikatorpaket (siehe meine Website) habe ich auf Basis der Lektüre seines Buches sowie ergänzt durch eigene Erweiterungen entwickelt, weil ich den Ansatz auf jeden Fall ganz interessant fand.

Das Power law 2 (Beitrag #3) kommt nicht von Sloman, sondern von Gabaix. Wie schon gesagt konnte ich dies nicht nachvollziehen (Livetour ebenso nicht - siehe #6), habe aber den für mich nicht uninteressanten Zusammenhang in Beitrag #4 gefunden. Ob dies auch ein weitreichend gültiges Gesetz im Sinne eines Power laws ist, weiss ich aktuell noch nicht. Einiges deutet jedoch daraufhin, auch wenn ich nur 5 Märkte (Dax, DJI, SP500, EUR/USD, FGBL) verglichen habe...

ciao,
zentrader

@ zentrader [#14]
"Ob dies auch ein weitreichend gültiges Gesetz im Sinne eines Power laws ist, weiss ich aktuell noch nicht."

Diese power laws sind zunächst mal Beschreibungen, keine "Gesetze". Mehr können sie nur werden, wenn ein dahinter liegender Mechanismus erkannt würde, aus dem sich das power law ableiten ließe.

In dem Buch "Statistical Mechanics of Financial Markets" von Voit sind Analysen zu power laws in Datenreihen von Finanzprodukten. Du kannst das Inhaltsverzeichnis auf der englischen amazon-Seite einsehen. Es fängt etwas seichter an in Kapitel 3.4, und dann so richtig das ganze Kapitel 5 zu dem von Dir angesprochenen Thema.
http://www.amazon.com/Statistical-Mechanics-Financial-Theoretical-Mathematical/dp/3540262857#reader_3540262857
Ich fand das Buch interessant aus der Neugier des Physikers heraus, ich habe aber keinerlei Anwendungsnutzen mitgenommen. Der Inhalt ist zum größten Teil sehr theoretisch und mathematisch. Wie halt statistische Mechanik so ist ...

Ich habe noch ein zweites, ähnliches Buch: "Econophysics" von Mantegna/Stanley. Auch hier kannst Du das Inhaltsverzeichnis bei amazon sehen:
http://www.amazon.com/Introduction-Econophysics-Correlations-Complexity-Finance/dp/0521620082#reader_0521620082
Hier handeln im Prinzip alle Kapitel 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 vom angesprochenen Thema. Die Kapitel sind allerdings kürzer als im vorigen Buch. Bzgl mathematischem Schwierigkeitsgrad und praktischer Anwendbarkeit gilt das Gleiche wie beim anderen Buch: schwierig ja, anwendbar nein.

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Eines habe ich allerdings tatsächlich aus diesem zweiten Buch gelernt, das ich im ganzen Physik-Studium nirgends gehört hatte!! Nämlich warum die Gaussverteilung so universell ist. Wenn ich das hier kurz versuche wieder zu geben, dann versteht Ihr auch gleich, was ich mit "schwierig ja" und "anwendbar nein" meine:

Die Menge von Attraktoren im Funktionenraum der Levy-stabilen Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unendlich. Die Gauss-Verteilung ist darin die einzige, deren sämtliche Momente endlich sind. Daher habe die Verteilungen, die vom Gausschen Attraktor angezogen werden, Zufallsvariablen mit endlicher Varianz, während in den Raumbereichen, die zu den nicht-Gaussischen stabilen Attraktoren gehören, Verteilungen mit unendlicher Varianz zu finden sind. Da Verteilungen mit unendlicher Varianz immer unphysikalisch sind, folgt die große Bedeutung des Gauss in der Physik.

Verteilungen mit unendlicher Varianz führend übrigens zu power laws, womit wir wieder beim Thema sind.