Die optimalen Formeln in der Landwirtschaft

Für die Optimallösung hat der Landwirt Formeln

Schwäbische Zeitung, Weingarten (11.11.08) - Wie landwirtschaftliche Flächen optimal genutzt werden können, ist eine kniffliche Rechenaufgabe. Die Mathematik gibt für solche Problemstellungen die lineare Optimierung an die Hand.

Betrachten wir zunächst folgendes Problem: Ein Landwirt steht vor der Frage, wie er eine landwirtschaftliche Nutzfläche von 100 Hektar am besten nutzt. Soll er Kartoffeln oder Getreide anbauen oder Teile der Fläche brachliegen zu lassen? Für die optimale Nutzung muss er dabei folgende Vorgaben (Nebenbedingungen) beachten:

1. Die Anbaukosten dürfen sein verfügbares Kapital in Höhe von 1100 Euro nicht übersteigen. Dabei betragen die Kosten für Kartoffeln zehn Cent pro Hektar, und sie liegen für Getreide bei 20 Euro pro Hektar.

2. Die Anzahl der Arbeitstage in der günstigen Jahreszeit ist in der Regel auf 160 Tage begrenzt. Dabei muss man für Kartoffeln mit einem Tag pro Hektar und für Getreide mit vier Tagen pro Hektar rechnen.

3. Der Reingewinn aus dem Anbau von Kartoffeln liegt bei 40 Euro pro Hektar und beträgt für den Anbau von Getreide 120 Euro pro Hektar.

Das Ziel des Landwirtes ist es natürlich, einen möglichst großen Reingewinn aus dem Verkauf von Kartoffeln und Getreide zu erzielen.

Vergleichbare Problemstellungen, in denen es um die Maximierung des Gewinns unter Einhaltung gewisser Bedingungen geht, finden sich in vielen Anwendungsfeldern, beispielsweise in der Produktionsplanung, bei der Frage nach der Gestaltung von Sortimenten und im Auf- und Ausbau von Telekommunikations- oder Verkehrsnetzen.

Alle Problemstellungen haben dabei etwas gemeinsam: Stets geht es darum, eine optimale Lösung zu finden, die von mehreren Größen und Bedingungen abhängt. Dabei kann unter optimal einmal maximal verstanden werden (zum Beispiel maximaler Gewinn, maximaler Ertrag), ein anderes mal auch minimal (minimale Kosten, minimaler Aufwand, minimaler Bedarf). Die Bestimmung einer Optimallösung, also eines Minimums oder einen Maximums unter Einhaltung gewisser Bedingungen, ist eine Aufgabe der sogenannten "linearen Optimierung", eines betriebswirtschaftlichen Teilgebiets des "Operation Research". Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen entstammen der Wirtschaftsmathematik und der numerischen Mathematik.

Die lineare Optimierung ist ein recht junges mathematisches Teilgebiet - die ersten Veröffentlichungen hierzu stammen aus dem Jahr 1939! Heutzutage wird sie in sehr vielen Bereichen zur Lösung praktischer Probleme eingesetzt.

Zur Lösung eines Optimierungsproblems, wie dem des Landwirts, müssen zunächst die Problemstellung und die Nebenbedingungen in eine mathematische Form gebracht werden. Dazu formuliert man Gleichungen und Ungleichungen, die das Problem beschreiben.

Ungleichung (1) berücksichtigt, dass insgesamt nur 100 Hektar Ackerland zur Verfügung stehen, Ungleichung (2) entspricht der ersten und Ungleichung (3) der zweiten Forderung. Die Variablen x bzw. y stehen jeweils für die Anbaufläche von Kartoffeln bzw. Getreide. Die Variable z in Gleichung (5) beschreibt den Reingewinn.

Die Lösung eines solchen Systems von Gleichungen und Ungleichungen kann auf verschiedenen Wegen erfolgen. Für einfache Problemstellungen mit nur zwei Variablen geht das grafisch: man stellt Gleichungen und Ungleichungen in einem Diagramm dar und sucht den Punkt P mit maximalem Ertrag ( siehe Abb. 2). So erfüllen beispielsweise alle Werte unterhalb der grünen Geraden die Bedingung aus Gleichung (3), Werte unterhalb der lila Geraden erfüllen Bedingung (2). Insgesamt erfüllen alle Punkte innerhalb des gelb hinterlegten Bereichs (des sogenannten "zulässigen Bereichs") die Bedingungen aus (1), (2), (3) und (4).

Um nun die Optimallösung zu finden, trägt man zunächst die Zielfunktion (gelb) in das Diagramm ein und verschiebt diese Gerade parallel in Richtung steigender Gewinne - jedoch nur so lange, bis sie an den Rand des gelb hinterlegten Bereichs gelangt. Der Berührpunkt P dieser verschobenen, roten Geraden ist die Optimallösung. Verschiebt man die Zielfunktion zu weit (orange Gerade), so verlässt man den zulässigen Bereich und die geforderten Bedingungen sind nicht mehr erfüllt. Verschiebt man dagegen nicht bis an den Rand (rosa Gerade), sind zwar die Bedingungen erfüllt, aber der Gewinn nicht maximal. Dass der Punkt P die Koordinaten x=60 und y=25 besitzt, heißt für den Landwirt, dass er dann den maximalen Gewinn erzielt, wenn er 60 Hektar Kartoffeln und 25 Hektar Getreide anbaut. Den Rest der Fläche sollte er brachliegen lassen.

Grafische Lösung

Solange bei einem Optimierungsproblem nur zwei Variable zu beachten sind, funktioniert das grafische Verfahren wunderbar. Auch mit drei Größen ist noch eine grafische Lösung möglich. Dazu ist aber bereits eine dreidimensionale Darstellung nötig, die sich nicht mehr so leicht per Hand anfertigen lässt.

Sind aber mehr als drei Größen zu berücksichtigen, zieht man andere mathematische Verfahren heran. Das bekannteste davon ist das sogenannte Simplex-Verfahren (oder die Simplex-Methode). Dieses Optimierungsverfahren löst ein lineares Optimierungsproblem nach einer gewissen Anzahl von Rechenschritten oder es stellt gegebenenfalls die Unlösbarkeit des Problems fest. Das Simplex-Verfahren ist heute das wichtigste Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen. Zur Durchführung des Simplex-Verfahrens verwendet man in der Regel Computer, die die "Rechenarbeit" erledigen. Die eigentliche Arbeit bleibt aber nach wie vor dem Landwirt überlassen.

(Quelle: http://www.szon.de/lokales/ravensburg/weingarten/200811110304.html)